Conjuntos


el conjunto es una estructura fundamental en las matemáticas  que se emplea para agrupar conjuntos. Los objetos de un conjunto se denominan elemento o miembro del conjunto. Estos elementos se toman de un conjunto universal U, que contiene todos los posibles elementos del conjunto. El numero de elementos contenidos en un conjunto S se conoce como el cardinal de S, denotado por |1|. Por ejemplo, el conjunto de números primos positivos menores que 20 puede expresarse como
                                                                                                          S={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ,19}
Otra forma de representar un conjunto es utilizar notación de constructor de conjunto, tiene la forma
                                                                                                        S={x|x es un numero primo positivo<20}
Usamos esta notación, un elemento se dice que es miembro del conjunto S si tiene una de las propiedades asociadas con x. De este modo, otra forma de representar el conjunto de números primos positivos menores que es 20.


La pertenencia a conjunto se denota por a ∈ A que establece  que a es miembro del conjunto A. El cojunto espcial que no tiene elemento se le denomina conjunto vacio y se denota ∅. se dice que  es un subconjunto de B, escrito como A ⊆ B, que nos dice que cada elemento de A es elemento de B. si Ay B son conjuntos, entonces la union de ellos, se denota  A∪B, es aquellos elementos que esta A o en B, o en ambos. L interseccion de A y B, se denota por  A∩B, es el conjunto que contiene aquellos elementos  que  estan en A y en B. la diferencia A y B, denota por A~B, es el conjunto que contiene aquellos  que estan en A pero no en B, 


 si nos referimos a a una coleccion de n elementos de esta forma como una n-tuppla ordenada.Contretamente, uno n-tupla ordenadas. las 2-tuplas se conoce como pares ordenados.


El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado por A*B, es el conjunto de todos los pares ordenado (a,b) tales a∈A y b ∈B


Numeración


Las siguientes reglas básicas de numeración subyacen toda la combinatoria:


REGLA DE LA SUMA. el numero de formas de escoger único elemento de dos conjunto disjuntos viene dado por la suma por la suma de los cardinales de los conjuntos.


REGLA DEL PRODUCTO. el numero de forma de escoger un elemento de un conjunto y segundo elemento de otros conjuntos viene dado por el producto de los cardinales de los conjuntos

En combinatoria, la regla del producto es una regla de recuento básica. (véase regla de la suma). Enunciada de manera simple, es la idea de que si algo puede hacerse de a formas y otra cosa puede hacerse de b formas, entonces hay a · b formas de hacer ambas cosas. Así, elegir un elemento de {A, B, C} y otro de {X, Y} es elegir un elemento de {AX, AY, BX, BY, CX, CY}. En este ejemplo la regla dice: multiplicando 3 por 2 se obtiene 6.

Los conjuntos {A, B, C} y {X, Y} en este ejemplo son conjuntos disjuntos, pero eso no es necesario. El número de formas de elegir un miembro de {A, B, C}, y después elegir otro, o sea, elegir un par ordenado de elementos elegidos de {A, B, C}, es 3 × 3 = 9.

En la teoría de conjuntos, este principio de multiplicación se toma a veces como la definición del producto de cardinales. Así,

donde X es el producto cartesiano. Estos conjuntos no tienen por qué ser finitos, ni tampoco es necesario que haya un número finito de factores en el producto (véase número cardinal)

Un ejemplo clásico de esta regla en computación, es la ejecución de dos ciclos for anidados.

Teoría de probabilidad elemental

La teoría nos permite calcular la probabilidad de sucesos concretos si asumimos  que estos sucesos están  gobernados por un conjunto de axiomas apropiado. Primero definimos el espacio de probabilidad, que es el conjunto U cuyos elementos se denominan sucesos elementales. Especificar distribucion de probabilidad Pr() que asigne una probabilidad a cada uno de estos sucesos específicos x⊆U se denota por Pr(x). Para nuestros propósitos, la distribución de probabilidad mas importante es la distribución uniforma discreta. EN esta distribución cualquier suceso elemental x∈ U es equiprobabilidad (i.e., Pr(x)= 1/|U|)

SI algún suceso esta compuesto de sucesos elementales independientes (i.e. la probabilidad de un suceso elemental no depende de si algún otro suceso se ha producido), entonces la probabilidad del suceso viene dada por  el producto de los suceso elementales que incluye. La variable aleatoria  es una función definida sobre los sucesos de un espacio de probabilidad.


GRAFOS

Grafo

Un grafo es una pareja de conjuntos G = (V,A), donde V es el conjunto de vértices, y A es el conjunto de aristas, este último es un conjunto de pares de la forma (u,v) tal que , tal que . Para simplificar, notaremos la arista (a,b) como ab.

En teoría de grafos, sólo queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no son relevantes, sólo importa a qué vértices están unidas. La posición de los vértices tampoco importa, y se puede variar para obtener un dibujo más claro.

Muchas redes de uso cotidiano pueden ser modeladas con un grafo: una red de carreteras que conecta ciudades, una red eléctrica o la red de drenaje de una ciudad

Grafos simples 

Un grafo es simple si a lo sumo sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos.

Un grafo que no es simple se denomina GRAFO COMPLEJO.. Un grafo simple está formado por dos conjuntos:

• Un conjunto V de puntos llamados vértices o nodos.

• Un conjunto de pares de vértices que se llaman aristas o arcos y que indican qué nodos están relacionados.

De una manera más informal podemos decir que un grafo es un conjunto de nodos con enlaces entre ellos, Grafos conexos [editar]

Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.

• No dirigidos: son aquellos en los cuales los lados no están orientados (No son flechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando sus vértices por comas, y teniendo en cuenta (Vi,Vj)=(Vj,Vi).

• Dirigidos: son aquellos en los cuales los lados están orientados (flechas). Cada lado se representa entre ángulos, separando sus vértices por comas y teniendo en cuenta <Vi ,Vj>!=<Vj ,Vi>. En grafos dirigidos, para cada lado <A,B>, A, el cual es el vértice origen, se conoce como la cola del lado y B, el cual es el vértice destino, se conoce como cabeza del lado.

Que a su vez se subdivide 

• Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo llamaremos k-regular.

Por ejemplo, el primero de los siguientes grafos es 3-regular, el segundo es 2-regular y el tercero no es regular

• Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto

Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo es

• Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo completo con n vértices se denota .

• Un grafo bipartito regular: se denota donde m, n es el grado de cada conjunto disjunto de vértices.

• Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.

• Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

ARBOLES

Un Árbol Binario es un conjunto de finito de Elementos, de nombre Nodos de forma que:

El Árbol Binario es Vació si no tiene ningún elemento en el.

El Árbol Binario contiene un Nodo Raíz y los dos que parten de él, llamados Nodo Izquierdo y Nodo Derecho.

Los Árboles tiene 3 Recorridos Diferentes los cuales son:

Pre-Orden

In-Orden

Post-Orden

Pre-Orden

Definición:

El Recorrido “Pre-Orden” lo recorre de la siguiente manera, viaje a través del Árbol Binario desplegando el Contenido en la Raíz, después viaje a través del Nodo Izquierdo y después a través del Nodo Derecho.

Detalle:

Temp toma el Valor de la Raíz y compara si el Árbol tiene algún Elemento, de otra manera Desplegara “Árbol Vació…” y terminara el método. Si el Árbol tiene elementos dentro de él, lo recorrerá y viajara a través de los Arreglos Izq y Der para determinar que valor meter en la Pila y en Temp para de esta manera imprimir el siguiente Elemento correspondiente.